Blog de matemática: teoría, ejemplos y problemas: https://goo.gl/iEcLXd
Vídeos de lógica proposicional
1) Enunciados y proposiciones: https://youtu.be/MnuYf_ba6pA
2) Conectivos u operadores lógicos: https://youtu.be/6xdhHvOBpW8
3) Clases de proposiciones lógicas: https://youtu.be/8eUBMY8HLfE
4) Proposiciones lógicas en el lenguaje simbólico: https://youtu.be/OAme0HOQc5I
5) Operaciones con proposiciones lógicas: https://youtu.be/y-AgYJT1Jag
6) Valor de verdad de proposiciones lógicas: https://youtu.be/ZCbT6gLoEcg
7) Valor de verdad de proposiciones lógicas simbólicas: https://youtu.be/7qWsCX5OJ6M
8) Tabla de valores de verdad 1: https://youtu.be/dT0N7Jq4IKw9) Leyes lógicas parte 1: https://youtu.be/y5LrK4Ie-AI
10) Leyes lógicas parte 2: https://youtu.be/7idfA43Jn6k
11) Simplificación de proposiciones lógicas 1: https://youtu.be/OAPg66ueG5A
11) Simplificación de proposiciones lógicas 1: https://youtu.be/OAPg66ueG5A
12) Simplificación de proposiciones lógicas 2: https://youtu.be/fxXmPORZZmE
13) Inferencia lógica: https://youtu.be/VHQg50TxJlg
13) Inferencia lógica: https://youtu.be/VHQg50TxJlg
El ser humano en la vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de un lenguaje determinado (oral, escrito,..., etc.) por medio de las denominadas frases u oraciones, estas pueden tener diferentes significados pero siempre van a resumirse a las formas de verdaderas o falsas, siendo este el precedente fundamental para el desarrollo del pensamiento humano. Lo importante en el presente estudio es el hecho de que, a partir de los enunciados (frases u oraciones) y de acuerdo a su significado es posible establecer una proposición y a partir de un conjunto de estas podemos llegar a una conclusión, siendo la ciencia encargada del estudio de estas, la lógica.
1.1. ENUNCIADO.- Denominamos así a toda frase u oración.
Ejemplos:
1) Prohibido fumar.
2) x2+y2≥9
3) Tribunal en Lima verá denuncias sobre Ancash
4) 4x – 1= – 5
5) ¿Qué hora es?
6) Fallo contra megacomisión enfrenta al Poder Judicial y al Congreso
7) Él es estudiante de la facultad de ciencias Administrativas y Contables
8) - 6,78 > 1,43
9) El desempleo bajó levemente en febrero
10) ¡Auxilio!
11) Deténgase.
12)
13) Paolo guerrero es jugador de futbol
14) ¿Dónde estabas?
15) Prohibido hacer ruido
16) Juez anula todos los informes que acusan a García
1.2. PROPOSICIÓN.- Una proposición es un enunciado que tiene la propiedad de ser verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas simultáneamente.
Representación simbólica: p, q, r, s, t,..., etc.
Ejemplos:
REPRESENTACIÓN
SIMBÓLICA
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PROPOSICIÓN
|
VALOR DE VERDAD
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p:
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El pentágono tiene cuatro lados
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F
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r:
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Mario Vargas Llosa escribió conversación en la catedral
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V
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s:
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Ica es la región más afectada por el terremoto del 2 007
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V
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t:
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El parque de la identidad se encuentra ubicado en Chilca
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F
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p:
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- 4 + 3 = 7
|
F
|
r:
|
3,56 > 0,099
|
V
|
El valor veritativo o valor de verdad de una proposición se expresa simbólicamente. Si p es una proposición, su valor de verdad se denota por V(p)
Se escribe: V(p) = V. Si valor de verdad de la proposición p es verdadera
Se lee: el valor de verdad de la proposición p es verdadera
Se escribe: V(p) = F. Si valor de verdad de la proposición p es falsa
Se lee: el valor de verdad de la proposición p es falsa
1.3. EXPRESIONES QUE NO SON PROPOSICIONES LÓGICAS
Son las expresiones que indican orden, advertencia, saludo, exclamación o interrogación. Es decir, estas expresiones sólo se quedan como enunciados.
Ejemplos:
- ¡Buenos días!.
- ¿Quién tocó la puerta?
- No faltes.
- ¿Así se llaman esas criaturas?
|
- ¡Hola, Harry!
- ¿Qué edad tienes?
- Prohibido fumar.
- ¡Viva la matemática!
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1.4. ENUNCIADOS ABIERTOS
Los enunciados que usan las palabras “el”, “ella” o las letras x, y, z, ... , etc. No tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos, es decir, no son proposiciones. Pero, si a estas palabras o letras se les asigna un determinado objeto o valor, llamado constante, el resultado es una proposición. A este tipo de enunciados se les denomina enunciados abiertos.
Ejemplos:
- Ella es estudiante de contabilidad
- x – 3 > 7
- 5x + 3y = 2
Si en el primer ejemplo reemplazamos ella por , se tiene, “ es estudiante de contabilidad”, que es una proposición donde su valor de verdad es V ó F dependiendo de que si .
Si en el segundo ejemplo “x” toma un valor menor o igual que 10 la proposición es falsa y si “x” toma un valor mayor a 10 la proposición es verdadera.
En el tercer ejemplo las variables o letras “x” , “y” pueden tomar infinitos valores para que el valor de verdad de la ecuación sea verdadera o falsa.
Los conectivos lógicos son símbolos que enlazan proposiciones simples o atómicas, sin formar parte de ellas: estos símbolos también toman el nombre de operadores.
Los conectivos lógicos que usamos en matemática son:
LENGUAJE COLOQUIAL
|
LENGUAJE
SIMBÓLICO
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NOMBRE DEL OPERADOR
|
no
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~
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La negación
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y
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Ù
|
La conjunción
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o
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Ú
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La disyunción inclusiva
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Si ... entonces ...
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®
|
La condicional
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... sí y sólo sí ...
|
«
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La bicondicional
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O bien ... o bien
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D
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La disyunción exclusiva
|
D = Delta (Cuarta letra del alfabeto griego que corresponde a “d” latina)
3. CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICAS: (Vídeo)
3.1. PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS
Cuando en ella no existe conectivo u operador lógico alguno.
Ejemplos:
- p: El cuadrado tiene 5 lados
- q: 3 x 4 = 12
- r: 9 es múltiplo de 3
3.2. PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES
Cuando en ella existe o está presente al menos un conectivo u operador lógico.
Ejemplos:
- ~ p: 12 - 5 ≠ 9
- q Ù p: Rosario jugó, aunque estuvo lesionado
- q ® p: Llegué tarde porque el carro se malogró
4. OPERACIONES CON PROPOSICIONES: (Vídeo)
Así como en aritmética y en álgebra se estudian operaciones entre números, en lógica se estudian operaciones entre proposiciones.
4.1. LA NEGACIÓN
La negación de una proposición p se escribe “~ p” y se lee “no p” ó “no es cierto que p” ó “es falso que p” y es otra proposición que niega que se cumpla p.
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|
Ejemplo:
Sea la proposición: p: 4 x 5 = 20 (V)
Su negación es: ~ p: no es cierto que 4 x 5 = 20 (F)
o se puede escribir: ~ p: 4 x 5 ≠ 20 (F)
Simbólicamente: V( ~ p) = F
4.2. LA CONJUNCIÓN
Dadas las proposiciones p, q, se simboliza “p Ùq” y se lee “p y q”, sólo es verdadero cuando ambos son verdaderos, en los demás casos siempre es falso.
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Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 7 es un número par (F)
q: 7 es menor que 5 (F)
p Ù q: 7 es un número par y 7 es menor que 5 (F)
Simbólicamente: V(p Ù q) = F
NOTA: En toda proposición, las palabras: “pero”, “sin embargo”, “además”, “no obstante”, “aunque”, “a la vez”, etc. Equivalen al conectivo ” Ù “
4.3. LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA
Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p Ú q” y se lee “p ó q”, sólo es falso cuando ambos son falsos, en los demás casos siempre es verdadero.
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|
Ejemplo:
Dadas las proposiciones:
p: 4 < 7 (V)
q: 4 = 7 (F)
p Ú q: 4 < 7 ó 4 = 7 (V)
Simbólicamente: V(p Ú q) = V
4.4. LA CONDICIONAL
Dadas dos proposiciones p, q se escribe
“p ® q” y se lee “si p entonces q” ó “p implica q” ó “p es suficiente para que q”, etc., sólo es falso cuando el primero es verdadero y el segundo es falso, en los demás casos siempre es verdadero.
( p = antecedente y q = consecuente)
|
|
Ejemplo:
p ® q : Si gano las elecciones entonces bajaré el precio de los combustibles
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 3 es un número primo (V)
q: 31 es un número par (F)
p ® q : si 3 es un número primo entonces 31 es un número par (F)
Simbólicamente: V(p ® q) = F
NOTA: En toda proposición las palabras: “porque”, “puesto que”, “ya que”, “siempre que”, “cuando”, “si”, “cada vez que”, “dado que”, son conectivos que representan a la condicional. Se caracterizan porque después de cada uno de estos términos esta el antecedente
Ejemplo:
No jugué porque llegué tarde
~p: no jugué (consecuente)
q: llegué tarde (antecedente)
Simbólicamente: q ® ~p
4.5. LA BICONDICIONAL
Dadas dos proposiciones p, q se escribe
“p « q” y se lee “p si y solo si q”, es verdadero cuando los valores de verdad son iguales y es falso cuando los dos valores de verdad son diferentes.
|
|
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 3 < 7 (V)
q: 3 + 5 < 7 + 5 (V)
p « q: 3 < 7 si y solamente si 3 + 5 < 7 + 5 (V)
Simbólicamente: V(p « q) = V
4.6. LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Dadas las proposiciones p, q se escribe “p D q” y se lee “o bien p o bien q”, es falso si los valores de verdad de las proposiciones son iguales y es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones son diferentes.
|
|
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 4 > 7 (F)
q: 4 < 7 (V)
p D q: o bien 4 > 7 o bien 4 < 7 (V)
Simbólicamente: V(p D q) = V
5. EXPRESAR EN EL LENGUAJE SIMÓLICO PROPOSICIONES LÓGICAS DEL LENGUAJE ESCRITO: (Vídeo)
Para expresar en el lenguaje simbólico proposiciones que se encuentran en el lenguaje escrito es necesario subrayar y escribir el conectivo u operador correspondiente.
6. DETERMINAR EL VALOR DE VERDAD DE PROPOSICIONES LÓGICAS: (Vídeo)
Para determinar el valor de verdad de una proposición, primero se expresa en el lenguaje simbólico, luego se asigna el valor d verdad de la proposición simple, para luego operar con los conectivos correspondientes hasta determinar el valor de verdad de la proposición compuesta.
RESUMEN
p q
|
p Ù q
|
p Ú q
|
p ® q
|
p « q
|
p D q
|
V V
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
V F
|
F
|
V
|
F
|
F
|
V
|
F V
|
F
|
V
|
V
|
F
|
V
|
F F
|
F
|
F
|
V
|
V
|
F
|
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 01
1) Escribe al lado derecho de cada una de estas expresiones, si es: enunciado, proposición o enunciado abierto.
(1) ¡Hola que tal!
(2) x² + 1 < 10
(3) El lapicero es rojo pero no es amarillo
(4) Él es administrador y contador
(5) ¿Vives con tu primo?
(6) El nuevo local de la facultad de ciencias administrativas y contables se encuentra en Chorrillos.
2) Formula ejemplos de enunciados, proposiciones y enunciados abiertos. Cinco ejemplos de cada uno.
3) Expresa en el lenguaje simbólico:
a) No es cierto que, Ollanta Humala no es el presidente de Ecuador.
b) Es falso que, Mayumi llegó tarde porque se quedó dormida.
c) Paolo Guerrero llego tarde al partido pero jugó.
d) Si hoy es miércoles entonces mañana no es martes
4) Que diferencias y similitudes estableces entre una proposición simple y una proposición compuesta
5) Determina los valores de verdad de las siguientes proposiciones:
a) Es falso que, Paolo guerrero no es jugador del Sport Club Corinthians Paulista.
b) 20 es múltiplo de 4, pero, 7 es menor o igual que 10
c) O 9 es mayor que 5 o es menor que 5.
d) 24 es múltiplo de 8 puesto que 24 es un número impar.
e) Ollanta Humala no ganó las elecciones presidenciales de Perú con un 54 %.
f) No es cierto que, Susana Villarán no fue revocada
6) Si: ~[(~p Ú q) Ú (r ® q)] Ù [ (~p Ú q) ® (q Ù ~ p), es verdadera. Calcula los valores de verdad de p, q y r.
7) Si: (p ® ~q) Ú (~r ® ~s), es falsa. Determina los valores de verdad de los esquemas moleculares:
a) ~(p ® ~q) Ú r b) (~p ®q) « (p ® ~q)
8) Sabiendo que el valor de verdad de la proposición compuesta:
{~[(p Ù r) ® q] Ù [(p Ú q) D s]} ® [(s D p) ® t], es siempre falsa. Determina el valor de verdad de la proposición [~(p Ù ~q) ® (r « ~s)] Ú (t D ~p)
Consiste en obtener los valores del operador principal a partir de la validez de cada una de las variables proposicionales.
Para evaluar una tabla de verdad de dos variables proposicionales se necesitan
22 = 4 valores de verdad en cada columna. En general el número de valores de verdad que se asigna a cada variable resulta de aplicar la fórmula 2n, donde “n” es el número de variables que hay en el esquema molecular o proposición lógica.
Las combinaciones de todas las posibilidades de V y F se hacen en las columnas de referencia al margen izquierdo del esquema, luego se procede a aplicar la regla a cada uno de los operadores, empezando por el de menor alcance hasta llegar al de mayor jerarquía.
Ejemplo:
Construye la tabla de verdad del esquema molecular:
~ (p Ù q ) « [(~ p) Ú (~ q)]
Solución:
Aplicando la fórmula 2n = 22 = 4 (n=2) porque el número de variables o proposiciones son 2, p y q.
En la columna de p se escribe hacia abajo 2 verdaderos y dos falsos, seguidamente en la siguiente columna, columna de q se escribe, un verdadero y un falso, un verdadero y un falso.
Para resolver se tiene en cuenta los signos de agrupación y el orden, en nuestro ejemplo se procede así:
§ Se resuelve la columna 1 con el operador de la conjunción.
§ Se resuelve la columna 2, en este caso, es la negación del resultado de la columna 1.
§ Se resuelve la columna 3, que es la negación de la proposición p.
§ Se resuelve la columna 4, que es la negación de la proposición q.
§ Columna 5, es el resultado de operar las columnas 3 y 4, con el operador de la disyunción inclusiva.
§ Columna 6, es el resultado de operar las columnas 2 y 5, con el operador de la bicondicional.
OBSERVACIÓN
- Para combinar los valores de verdad de las variables p y q, se realiza lo siguiente: n = 2 ( 2 variables)
- Se aplica la fórmula 2n = 22 = 4
- Significa que en la primera columna se tendrán 4 valores, 2 verdaderos y 2 falsos
- En la segunda columna se tendrán la mitad de lo anterior, en este caso, un verdadero y un falso
|
p q
|
~ (p Ù q) « [(~p) Ú (~q)]
| |||||
V V
V F
F V
F F
|
F
V
V
V
|
V
F
F
F
|
V
V
V
V
|
F
F
V
V
|
F
V
V
V
|
F
V
F
V
|
PASOS
|
2
|
1
|
6
|
3
|
5
|
4
|
La columna 6 es el resultado de evaluar el esquema molecular o proposición compuesta por el método de la tabla de valores de verdad. La columna resultado presenta diferentes formas, que a continuación estudiamos.
7.1. TAUTOLOGÍA.- Llamamos tautología si en la columna resultado todos los valores son verdaderos
7.2. CONTRADICCIÓN.- Llamamos contradicción si en la columna resultado todos los valores son falsos.
7.3. CONTINGENCIA.- Llamamos contingencia si en la columna resultado se encuentra verdaderos y falsos, sin considerar cuántos verdaderos o cuántos falsos existan, es suficiente que se encuentren ambos.
8. IMPLICACIÓN LÓGICA Y EQUIVALENCIA LÓGICA
IMPLICACIÓN LÓGICA
Se llama implicación lógica o simplemente implicación a toda condicional
p ® q que sea tautología.
Ejemplo:
Verifica si la siguiente condicional es una implicación lógica:
[(p ® q) Ù ~ q] ® ~ p
p q
|
[(p ® q) Ù ~ q] ® ~ p
| |||||
V V
V F
F V
F F
|
V
F
V
V
|
F
F
F
V
|
F
V
F
V
|
V
V
V
V
|
F
F
V
V
| |
En la columna resultado se observa los valores de verdad, en este caso todos son verdaderos. Entonces, afirmamos que la condicional es tautología, por tanto, es una implicación lógica. Si en la columna resultado se obtiene contradicción o contingencia, entonces, no existe implicación lógica.
EQUIVALENCIA LÓGICA
Se llama equivalencia lógica o simplemente equivalencia a toda bicondicional p « q que sea tautología.
Ejemplo:
Verifica si la siguiente bicondicional es una equivalencia lógica:
[p Ù (p Ú q)] « p
p q
|
[ p Ù (p Ú q)] « p
| ||||||
V V
V F
F V
F F
|
V
V
F
F
|
V
V
F
F
|
V
V
V
F
|
V
V
V
V
|
V
V
F
F
| ||
Como se verifica que el resultado de la bicondicional, es tautología, afirmamos que es una equivalencia lógica.
Entonces, podemos afirmar que: [p Ù (p Ú q)] º p
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 02
1) Construye las tablas de valores de verdad de las siguientes proposiciones y evalúa si es tautología, contradicción o contingencia:
a) [(p Ú ~ q) Ù ~ p] D ~ (~ q ® p)
b) [p Ú (q ® r) ] ® [ (~p Ù ~r) « ~q
2) Dadas las proposiciones: M= (p ® q) Ú ~p y N = (~p Ú q)
Evalúa si M implica a N.
3) Dadas las proposiciones S = ~p ® (p Ú q) y T= (p ® ~q)
Evalúa si S es equivalente a T.
9. LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL: Vídeo
Las proposiciones equivalentes se convierten en leyes lógicas. Existen infinitas proposiciones equivalentes. Pero sólo consideraremos algunas a las que llamaremos leyes del álgebra proposicional
1) Leyes del tercio excluido
p Ú ~ p º V p Ù ~ p º F
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6) Leyes distributivas
p Ù (q Ú r) º (p Ù q) Ú (p Ù r)
p Ú (q Ù r) º (p Ú q) Ù (p Ú r)
|
2) Ley de involución o doble negación
~ (~ p) º p
|
7) Leyes de De Morgan
~ (p Ù q) º ~ p Ú ~ q
~ (p Ú q) º ~ p Ù ~ q
|
3) Ley de idempotencia
p Ú p º p p Ù p º p
|
8) Leyes condicionales
p ® q º ~ p Ú q
|
4) Leyes conmutativas
p Ú q º q Ú p
p Ù q º q Ù p
p « q º q « p
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9) Leyes bicondicionales
p « q º (p ® q) Ù (q ® p)
|
5) Leyes asociativas
(p Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r)
(p Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r)
|
10) Leyes de absorción
p Ù (p Ú q) º p
p Ú (p Ù q) º p
p Ù (~ p Ú q) º p Ù q
p Ú (~ p Ù q) º p Ú q
|
11) Formas normales para la conjunción y disyunción
V Ù V º V F Ú F º F
p Ù V º p p Ú F º p
p Ù F º F p Ú V º V
| |
Las leyes del álgebra proposicional se aplican o utilizan en la validación de proposiciones compuestas, es decir, para determinar el valor de verdad de una proposición. Además se utiliza en la simplificación de proposiciones compuestas.
Ejemplo:
Simplifica la proposición ~ (p Ù ~ q) ® (p Ù q) aplicando las leyes del álgebra proposicional.
~ [~ (p Ù ~ q)] Ú (p Ù q) ……………… Ley condicional
(p Ù ~ q) Ú (p Ù q) ……………… Ley de doble negación
p Ù (~ q Ú q) ……………… Ley distributiva
p Ù V ……………… Ley del tercio excluido
p ……………… Formas normales
Vídeos de leyes del álgebra proposicional
Leyes lógicas parte 1: https://youtu.be/y5LrK4Ie-AI
Leyes lógicas parte 2: https://youtu.be/7idfA43Jn6k
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 03
Simplifica los siguientes esquemas moleculares aplicando las leyes del álgebra proposicional:
1) ~ [ ~ (p Ù ~ q)] ® ~ p
2) [(p ® q) Ú ~ p] Ù (~ q ® p)
3) (~ p ® q)« (~ q ® p)
4) [(~p Ù q) ® ~ p] Ù (~ q « p)
Se llama inferencia lógica o argumento lógico a toda condicional de la forma: (p1 Ù p2 Ù … Ù pk ) ® q donde las proposiciones p1, p2, … pk son llamadas premisas, y originan como consecuencia otra proposición denotada por q llamada conclusión.
Una inferencia puede ser tautología, contingencia o contradicción.
Si la condicional es una tautología, es decir si es una implicación entonces recibe el nombre de argumento válido o inferencia válida.
Si la condicional no es una tautología entonces se denomina falacia o simplemente argumento no válido.
Ejemplo:
Válida el argumento (p ® q) ® p
Solución
Aplicando las leyes del álgebra proposicional
~ (~ p Ú q) Ú p …………….. Ley condicional
(p Ù ~ q) Ú p …………….. Ley de De Morgan
p …………….. Ley de absorción
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 04
1) Verifica la validez de los siguientes argumentos aplicando las leyes del álgebra proposicional y construyendo tablas de verdad:
a) p Ù q
q ® ~ p
______
~ q
|
b) (p ® q) Ù ~ r
~ q Ú ~ r
___________
P ® ~ q
|
2) Valida el siguiente argumento lógico:
La parada militar no se realizará en Huancayo porque Doe Run bloquea la carretera central
Lo colegios emblemáticos amenazan con protestas en contra del gobierno
Doe Run no bloqueará la carretera central
Por lo tanto, La parada militar se realizará en Huancayo
3) Valida la siguiente inferencia lógica:
Si el gobierno suspende el estado de emergencia entonces Espinar vuelve a la calma
Los dirigentes de Espinar tienen intereses electoreros
Espinar no vuelve a la calma
Por lo tanto, El gobierno no suspende el estado de emergencia
4) Valida el siguiente argumento lógico:
Si se realiza el estudio técnico entonces el aeropuerto de Jauja va
No se realiza el estudio técnico porque los jaujinos protestan
Los jaujinos no protestan
_____________________________________________________________
Por tanto, el aeropuerto de Jauja no va
5) Valida el siguiente argumento lógico:
Si canto bien entonces no gano el concurso
No ganaré el concurso porque tengo pocos votos por la red
Canté bien
________________________________________________________
Por tanto, no gané el concurso
6) Valida la siguiente inferencia lógica:
Los ministros no comunican al pueblo sobre las obras del gobierno dado que son mudos. No es cierto que, los ministros sean mudos porque con frecuencia son entrevistados en los medios de comunicación. Por tanto, los ministros no son mudos.
7) Valida el siguiente argumento lógico:
Si trabajo no puedo estudiar. Estudio o apruebo matemática. Trabajé. Por lo tanto, aprobé matemática
8) Valida la siguiente inferencia lógica:
Conga no va porque la minería contamina las lagunas. Si la minería no contamina las lagunas entonces los ríos traen agua no contaminada. Los ríos traen agua contaminada. Por lo tanto, Conga va.
9) Valida la siguiente inferencia lógica:
Si gano las elecciones bajaré el precio de los combustibles.
Bajaré el precio de los combustibles si los electores votan por mí.
Los electores no votaron por mí.
_____________________________________________________
Por tanto no bajaré el precio de los combustibles
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